以長度為5為例，正解的每一行/列中，會是由 1,2,3,4,5 分配給每一格，數字不會重複。

範例:

[1] [2] [3] [4] [5]
> 這是可接受的答案。

[5] [4] [1] [3] [2]
> 這是可接受的答案。

[1] [1] [1] [2] [3]
> 這答案不行，1重複，也缺少 4, 5。

玩家的任務，就是於不違反規則下，找出每一格的數字。



範例:

[1,2] [2,3] [3]
> 第一格答案可能為 [1] 或是 [2]
> 第二格答案可能為 [2] 或是 [3]
> 第三格沒得選

[5,3,1,2,4] [2] [4,3] [3,4] [5]
> 第一格可以在 1~5 選一個答案 (題目中順序不見得是 12345 升冪排序)
> 第三第四格可選範圍相同，都是 [3,4]

範例:

[1,2] [1,3] [2]

列出所有解答的話，有四種可能:

[1] [1] [2]
[2] [1] [2]
[1] [3] [2]
[2] [3] [2]

根據規則來檢查每一筆答案:

[1] [1] [2] > 1 重複了，而且缺 3。

[2] [1] [2] > 2 重複了，而且缺 3。

[1] [3] [2] > 合格!

[2] [3] [2] > 2 重複了，而且缺 1。

只有 [1] [3] [2] 剩下來，這就是我們要的答案。

------

當然正常人沒有時間去「全部」條列所有可能狀況，所以接下來要介紹的，是以與「條列後刪除矛盾」方法同樣道理，但採另一個方向的實戰策略。

共計四條

1. 若某格只剩一個選擇，那個就是答案。
   
   
2. 對某行/列來說，若某個數字在各格可選範圍加起來考慮下，只出現一次，那該數字一定是答案。
   
   
3. 對某行/列，用重複出現n次的 n-tuple 刪減其他格的可選數字。 (詳細說明後述)
   
   
4. 針對某格，把其同行/同列上，已確定會被他格用掉的數字，自其可選擇範圍中移除。

1,2 為確認某格答案。 3,4 為精簡某格的可選範圍。
實際遊戲中，玩家透過 1,2 <-> 3,4 來回反饋解題。

> 意義在於，規則中有說「同行/列中，數字不能重複」。
> 確認某格，相當於告訴玩家，這個數字在其他格中不會出現。
> 延伸就是 策略3,4 的基礎

範例:

[1] [1,2]

> [1] 沒得選，所以這是答案。
> 對 [1,2] 來說，這一列的 1 被用掉了，所以可選範圍能把 1 擦掉，變成 [2]。 然後也能套用策略1來解右邊這格。

[1] [2]

範例:

[1,2] [3] [1,3] [2,4]

> 對 4 來說，只有最右邊那格有得選。
> 如果最右邊那格玩家選 [2]，則這一列剩下再怎麼選，都不會有 4 出現，違反「1,2,3...x(依長度決定) 每個數字都要出現」。
> 所以最右那格 4 一定要選。

變成 [1,2] [3] [1,3] [4]

> 然後 2 是不是只出現一次呢？因此第一格可決定

變成 [2] [3] [1,3] [4]

> 接下來 1 只出現一次，所以

變成 [2] [3] [1] [4]


* 對 [2] [3] [1,3] [4] 來說，也可以用策略4來解
> 因為 3 確定被用掉了，所以 [1,3] 可以把 3 擦掉。

> [1,2] 有兩個可選的，稱其為 2-tuple

> [3,1,2] 有三個可選的，稱其為 3-tuple

> [9,5,7,2] 有四個可選的，稱其為 4-tuple

> 以此類推...



範例:

[1,3] [1,3] [1,2,3,4] [4]
> [1,3] 為 2-tuple，且此列出現兩次。 (這是我們要的)

[1,2,3] [1,2,3] [1,2,3] [4] [5]
> [1,2,3] 為 3-tuple，且此列出現三次。 (這是我們要的)

[1,2,3] [1,2,3] [3,4] [4,5] [3,5]
> [1,2,3] 為 3-tuple，但是此列只出現兩次。 (這個不要！)



[1,3] [1,3] [1,2,3,4] [4]

> 對上面的例子來說，第一格和第二格都是只能選 1 或 3。
> 規則為數字不可重複

[1] [1] [1,2,3,4] [4] > 這個不行
[3] [3] [1,2,3,4] [4] > 這個也不行

> 因為格子一定要選個數字，不能重複的條件下

[1] [3] [1,2,3,4] [4] > 不是 13 這樣
[3] [1] [1,2,3,4] [4] > 就是 31 這樣

> 那第一格和第二格到底是什麼，還是不知道呀！？
> 對，前兩格還不能確定。
> 但是對這一列來說，1 和 3 確定會被前兩格用掉。
> (關鍵) 對同列的其他格子來說， 像是 [1,2,3,4]，他的可選範圍 1,3 可以擦掉了，因為「確定會被別格用掉」(雖然明確順序此時還不知道)。

[1] [3] [2,4] [4] > 第三格可精簡為
[3] [1] [2,4] [4] > ...或是這樣

> 因為 2 只出現在第 3 格； 或是你要說 4 已經被第四格用掉了，所以

[1] [3] [2] [4]
[3] [1] [2] [4]


* 為鴿籠原理(Pigeonhole principle) 推廣應用 (m=n)

範例:

[2,3,4] [1] [3] [2]

> 2 確定被用掉了，所以 第一格可以精簡為 [3,4]
> 同樣的 3 也確定被用掉了，所以 第一格可以再精簡為 [4]

[4] [1] [3] [2]
> 當然你也可以不分兩步驟，一次把 2,3 擦掉。


範例:

[2,3,4] [4] [1,3,4] [1,2,4]

> 4 確認用掉了，所以別的格子通通擦掉

[2,3] [4] [1,3] [1,2]

> 很不幸的，這裡沒辦法繼續下去了... 是嗎？
> 列卡住時，可以改用行來參考(見下個例子)


範例:

[2]
[2,3] [4] [1,3] [1,2]
[1]
[4]

> 用直行來看原本的第一格 [2,3]，有沒有發現 2, 1, 4 都被用掉了呢？
> [2,3] 可以精簡為 [3]

[2]
[3] [4] [1,3] [1,2]
[1]
[4]

> [3] [4] [1,3] [1,2] 是不是就可以繼續解下去了？

[3] [4] [1] [1,2] > 3 被用掉
[3] [4] [1] [2] > 1 被用掉




範例(進階):
[1,3]
[1,2,3] [2,3] [1,3] [4]
[1,3]
[2,4]

> 就 [1,2,3] [2,3] [1,3] [4] 來看，沒辦法繼續下去。

[1,3]
[1,2,3]
[1,3]
[2,4]

> 但是直行來看，有兩個2-tuple [1,3]
> 所以 1和3 一定會被用掉，[1,2,3]可以精簡為 [2]

[1,3]
[2]
[1,3]
[2,4]

> 2 被用掉了，最下面一格可以擦掉 2

[1,3]
[2]
[1,3]
[4]

> 這裡就卡住了，沒關係，回到橫列...

[2] [2,3] [1,3] [4]

> 2 被用掉，擦掉其他格子的 2

[2] [3] [1,3] [4]

> 3 被用掉，精簡 [1,3]

[2] [3] [1] [4]

> 最後會停在這裡，

[1,3]
[2] [3] [1] [4]
[1,3]
[4]

> 不能繼續了？ 誰說的，你可以嘗試其他的行列(雖然本例子沒有提供)

綜上所述，將策略 1,2,3,4 混合使用，可以一步一步的減少可能範圍。

實際遊玩時，筆者建議玩家可以將題目用「鉛筆」謄寫到紙上，然後用上述策略解題時，刪減範圍後就直接擦掉或劃掉數字。
這個遊戲因為被用掉的數字還會留在畫面上，所以後期反而一堆數字會看得眼花撩亂。

但是採紙筆解時要注意，若是擦錯了，重來會相當麻煩⋯⋯

有的題目，光靠上面 策略1~4 去解，會發生「解到卡住」，也就是盤面以策略1~4重複套用，都無法產生變動的情況。

(這裡不討論 出現錯誤，(e.g. 題目抄錯)，導致發生矛盾 無法繼續動作 的情況)

範例:

[1,2] [1,2]
[1,2] [1,2]

> 有兩種解答

[1] [2]
[2] [1]

[2] [1]
[1] [2]

遇到這種情況時，可以採用策略 5

例如上面那個範例，若左上角 [1, 2] 猜是 [1]， 則會取得答案 A。 若猜是 [2]，會取得答案 B。

也有可能你一猜下去，之後解完某行，發現另一列出現兩個 [4] [4]，這就代表這次的猜測不行。

而且可能在猜測之後，又解到卡住，需要在這個猜測的前提下，再開始下一層的猜測⋯⋯ (recursive)

(若你打算寫程式來解的話，請留意盤面快照，與多層猜測的 backtracking。)

(不同猜測可能最後會引向相同解答，想提升程式效率可以在這點著手。)

策略 5 算是暴力解法，其實可以在任何盤面時間點使用。 但還是建議手動玩家先依靠 策略 1~4 解到極限再去使用。


Cross Set Infinity 的 "5-14" 就是光靠 策略 1~4 你會解到 halt 住的問題。

351,613,342,512,625,135,
423,342,125,623,563,341,
624,451,534,561,635,136,
461,345,634,523,251,456,
356,145,451,534,145,251,
135,462,236,524,312,514

> 解到這裡會卡住

[1, 3, 5] [6, 1, 3] [4] [2, 5, 1] [5, 6, 2] [1, 5, 3]
[4, 3] [3, 2] [1, 5, 2] [6, 2] [3, 6, 5] [4, 1, 3]
[2] [4] [5, 3] [6, 1, 5] [3, 5, 6] [6, 1, 3]
[4, 1] [5, 3] [3, 6] [5, 2] [5, 2, 1] [5, 4, 6]
[6] [5, 1] [1, 5] [3] [4] [2]
[3, 1, 5] [6, 2] [2, 3, 6] [4] [2, 3, 1] [1, 5]

> 若你猜左上角為 [1]， 某一行會出現重複數字，

> 當你猜左上角為 [5]， 將會導向下面的答案:

[5] [1] [4] [2] [6] [3]
[4] [2] [5] [6] [3] [1]
[2] [4] [3] [1] [5] [6]
[1] [3] [6] [5] [2] [4]
[6] [5] [1] [3] [4] [2]
[3] [6] [2] [4] [1] [5]